Fungsi Dan Relasi



FUNGSI DAN RELASI

 

Disusun

Oleh :

 

Nama        :   Ni Nyoman Wartini

NPM       :    08.8.03.51.30.1.5. 1263

Prodi       : Pend. Matematika

 

 

 

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MAHASARASWATI

DENPASAR

2011

BAB I

PENDAHULUAN

  1. 1. Latar Belakang Masalah

Fungsi dan relasi adalah bagian dari pelajaran matematika, dimana fungsi dan relasi ini saling berhubungan satu dengan yang lain. Di dalam fungsi dan relasi ada yang namanya daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil. Daerah asal disebut domain, daerah kawan disebut kodomain, sedangkan daerah hasil disebut range.

Suatu fungsi dari A ke dalam B adalah subhimpunan dari A x B dimana tiap-tiap a Î A muncul dalam satu dan hanya satu pasangan terurut yang termasuk f. Karena setiap subhimpunan dari A x B adalah suatu relasi, maka fungsi adalah hal khusus dari relasi.

Adapun hubungan antara fungsi dan relasi adalah Fungsi atau pemetaan merupakan suatu relasi yang bersifat khusus, karena tidak semua relasi merupakan suatu pemetaan, tetapi setiap fungsi adalah relasi.

  1. 2. Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka permasalahan dalam paper ini dapat dirumuskan sebagai berikut :

  1. Apakah pengertian dari fungsi dan relasi?
  2. Bagaimanakah hubungan antara fungsi dan relasi?
  3. Bagaimana bentuk-bentuk dari fungsi dan relasi?

 

 

  1. 3. Tujuan

Tentunya setiap aktivitas yang dilakukan oleh seseorang sudah tentu mempunyai suatu tujuan tersendiri, karena dengan adanya tujuan yang akan dicapai maka pekerjaan itu akan berjalan dengan lancar.

Adapun yang menjadi tujuan pembuatan paper ini adalah untuk meningkatkan pemahaman mahasiswa maupun mahasiswi khususnya yang mengambil Prodi Matematika mengenai materi fungsi dan relasi, melalui penerapan tugas paper yang diberikan oleh dosen pembimbing pengantar dasar matematika ini. Selain itu untuk meningkatkan minat mahasiswa maupun mahasiswi dalam mempelajari materi fungsi dan relasi, karena paper ini sudah tersaji dalam bentuk ringkas dan mudah dimengerti.

4. Manfaat

Bagi dunia pendidikan dapat digunakan sebagai acuan dalam memahami suatu materi fungsi dan relasi dalam mengembangkan suatu  kajian pembelajaran guna memperbaiki pemahaman serta kualitas pembelajaran masalah fungsi dan relasi.

Bagi mahasiswa maupun mahasiswi dapat memudahkan untuk memahami serta mempelajari pengertian fungsi dan relasi serta dapat dapat memecahkan soal-soal yang terdapat dalam materi ini. Sehingga prestasi siswa akan meningkat dalam pembelajaran fungsi dan relasi.

BAB II

FUNGSI DAN RELASI

A Fungsi

  1. 1. Pengertian Fungsi

Fungsi atau pemetaan adalah suatu relasi yang bersifat khusus, karena tidak semua relasi merupakan suatu pemetaan, tetapi setiap pemetaan adalah relasi. Jadi suatu fungsi (f) dari himpunan A ke himpunan B ialah suatu relasi dimana setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan B. fungsi di atas dapat ditulis dengan f = A ® B (di baca f memetakan A ke B) atau dapat ditulis  f : x ® f (x)

Pada fungsi atau pemetaan terdapat ranah (domain/daerah asal), ko-ranah (kodomain /daerah kawan), range (daerah hasil) yang merupakan bagian dari kodomain, jadi R Ì K. Contoh : Relasi fungsi : “Ibu kota dari”

                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 

Pada contoh di atas, dapat disimpulkan aturan pokok fungsi atau pemetaan, sebagai berikut :

a)      Terdapat dua himpunan tidak kosong. Semua anggota himpunan pertama disebut domain (daerah asal) dan semua anggota himpunan kedua disebut kodomain (daerah kawan).

b)      Semua anggota domain harus habis terpasangkan tepat satu (hanya satu peta) di daerah kawan.

  1. 2. Istilah-Istilah Dalam Fungsi
  2. Domain (daerah asal) adalah daerah asal dari pemetaan (a Î A)
  3. Kodomain (daerah kawan) adalah daerah tujuan dari pemetaan (b Î B)
  4. Range (daerah hasil) adalah daerah yang merupakan hasil kali dari suatu pemetaan.
       

KETERANGAN

A = Daerah asal (domain)

B = Daerah kawan (kodomain)

C = Daerah hasil (range)

 

1     1  
2     2  
3     3  
      4  
         
A     B  

 

  1. 3. Pemetaan, Operator, dan Transformasi

1.   Pemetaan

Sebuah fungsi f dari A ke dalam B sering disebut peta dari A ke dalam B dan dinotasikan dengan :

f : A ® B

Dengan demikian berbunyi “f  memetakan A ke dalam B”. Kita dapat pula menyatakan sebuah peta atau fungsi f dari A ke dalam B dengan

 

2.   Operator dan Transformasi

Jika ranah dan ko-ranah sebuah fungsi f kedua-duanya adalah himpunan yang sama, katakan f : A ® A, maka f sering kali disebut sebuah operator atau transformasi pada A, sebagaimana akan kita lihat kemudian, operator-operator adalah kasus-kasus khusus yang penting dari fungsi-fungsi.

4.   Fungsi-Fungsi Yang Sama

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang didefinisikan pada ranah D yang sama dan jika f(a)-g(a) untuk setiap (a Î D), maka fungsi-fungsi f dan g adalah sama dan ditulis : f = g

Contoh : Misalkan fungsi f didefinisikan oleh diagram

           
  1     1  
        2  
  2     3  
        4  
           
           

Misalkan sebuah fungsi  didefinisikan oleh rumus g(x) = x2 dimana ranah g adalah himpunan {1, 2}. Maka f = g karena keduanya memiliki ranah yang sama dan karena f dan g menetapkan bayangan yang sama untuk tiap-tiap elemen dalam ranah.

5.   Jangkau Dari Fungsi

Jangkau atau range dari f terdiri atas elemen-elemen B yang tepat muncul sebagai bayangan dan sekurang-kurangnya satu elemen A. Jangkau dari f : A ® B dinyatakan dengan f (A).

Contoh : misalkan fungsi f : R# ® R# didefinisikan oleh rumus f(x) = x2. maka jangkau f terdiri atas bilangan-bilangan riil positif dan nol.

6.   Fungsi Satu-Satu

Jika f memetakan A ke dalam B, maka f disebut suatu fungsi satu-satu. Secara   singkat f : A ® B adalah satu-satu jika f (a) = f (a1) maka a = a1 atau yang ekuivalen dengannya yaitu jika a ¹ a1 maka f(x) ¹ f (a1).

7.   Fungsi Pada

Jika f(A) = B, yaitu jika setiap anggota B muncul sebagai bayangan dari sekurang-kurangnya satu elemen A, maka dikatakan “ f adalah suatu fungsi dari A pada B”, atau “f memetakan A pada B”, atau “f  adalah suatu fungsi pada.

8.   Fungsi Satuan

Misal A adalah sebarang himpunan, fungsi f : A ® A didefinisikan oleh rumus f(x) = x, yaitu f menetapkan tiap-tiap elemen dalam A elemen yang bersangkutan itu sendiri. Maka f disebut fungsi satuan atau transformasi satuan pada A. Kita nyatakan fungsi ini dengan 1 atau dengan 1A.

9.   Fungsi Konstan

Suatu fungsi f dari A ke dalam B disebut fungsi konstan jika elemen b Î B yang sama ditetapkan untuk setiap elemen dalam A. Dengan perkataan lain f : A ® B adalah suatu fungsi konstan jika jangkau dari f hanya terdiri dari satu elemen.

 

 

 

Contoh : Misalkan fungsi f didefinisikan oleh diagram :

 

 

 

 

 

Maka f adalah fungsi konstan karena 3 ditetapkan untuk setiap elemen A.

10. Hasil Kali Fungsi

Misalkan f suatu fungsi dari A ke dalam B dan g dari B ke dalam C dimana B adalah ko-ranah dari f. Kita ilustrasikan fungsi-fungsi ini di bawah.

                               
                               
    A   f   B g   C    
                               
                               

Aturan yang menetapkan tiap-tiap elemen a Î A dengan suatu elemen yang terangkaikan dengannya yaitu g (f(a)) Î C  dengan kata lain kita mempunyai fungsi dari A ke dalam C. dimana fungsi inilah yang dimaksud dengan hasil kali fungsi (product function) yang dinyatakan (g o f) atau (gf). Jadi dari fungsi di atas dapat dilengkapi dengan cara :

 

 

 

 

 

                                     
                                     
    A   f B g   C    
                                     
                                     
              (g o f)                  

11. Sifat Asosiatif Dari Hasil Kali Fungsi-Fungsi

Jika f : A ® B, g : B ® C dan h : C ® D, dimana hasil kali fungsi g o f : A ® C dan kemudian fungsi h. (g o f) : A ® D

                                           
                                           
    A   f     B   g     C     h     D      
                                           
                                           
              g   f                            
                                           
              h (g   h)                  

Teorema

Misalkan : f : A ® B, g : B ® C dan h : C ® D, maka

(h  g)  f = h  (g  f)  atau dapat ditulis h   g   f : A ® D tanpa tanda kurung apapun.

12. Invers Dari Fungsi

Jika f suatu fungsi dari A ke dalam B dan misalkan : b Î B maka invers dari b, dinyatakan oleh f-1 (b).

Jika f : A ® B maka :

f-1(b) = {xïx Î A, f(x) = b}

f-1 (b) adalah selalu sebuah subhimpunan dari A. Kita membaca f-1 sebagai “f invers”.

13. Bentuk-Bentuk Fungsi

Berdasarkan variabelnya fungsi dapat dibedakan menjadi beberapa bentuk yaitu :

  1. a. Fungsi Eksplisit

Yaitu fungsi yang mempunyai variabel x dan y, dimana variabel y diletakkan berbeda ruas dengan variabel x

Contoh :

y = 3x + 4

y= 8x + 7

  1. b. Fungsi Implisit

Yaitu : suatu fungsi yang mempunyai variabel y dan x, dimana variabel y dan x terletak pada ruas yang sama.

Contoh :

3x – 4y  + 6 = 0

5x – 2y + 10 = 0

  1. c. Fungsi Rasional

Yaitu : suatu fungsi aljabar yang mengerjakan bilangan rasional dengan menggunakan variabel x

Contoh :

= y

= y

  1. d. Fungsi Irrasional

Yaitu suatu fungsi aljabar dimana hubungan antara variabel x dan y terdapat penaksiran akar pada variabel x

Contoh :

y =

y =

  1. e. Fungsi Genap

Suatu fungsi dikatakan genap bila memenuhi syarat : f(-x) = f (x)

f. Fungsi Ganjil

Dikatakan fungsi ganjil jika memenuhi syarat :

f(-x) – -f(x)

14. Fungsi-Fungsi Khusus

Ada beberapa fungsi khusus yaitu :

  1. a. Fungsi Identitas

Yaitu suatu fungsi yang memetakan anggota himpunan A kepada dirinya sendiri (f : A ® A) yang didefinisikan dengan f(x) = x dan dilambangkan dengan huruf “I”

Contoh :  A = {0, 1, 2}

                 
  0.         .0    
  1.         .1    
  2.         .2    
                 
                 
  1. b. Fungsi Tetap (konstan)
                   
    a.       .1      
    b.       .2      
    c.       .3      
                   
  FUNGSI INVERS  
                   

 

Jika A dan B adalah suatu himpunan, maka fungsi konstannya adalah jika setiap anggota A dipasangkan dengan satu anggota  B yang sama (f : A ® B) jika daerah hasil dari f terdiri dari satu elemen.

Contoh :

A = {a, b, c}

B = {1, 2, 3}

 

 

  1. c. Fungsi Nilai Mutlak (modulus)

Modulus atau nilai mutlak suatu bilangan real dinyatakan dengan ½x ½, dan ½x½= x jika x ³ 0 serta ½x½ = -x jika x < 0, fungsi didefinisikan dengan f(x) = ½x½, yaitu memasangkan setiap bilangan real dengan nilai mutlaknya.

Contoh :

A = {-1,1, -2,1}

                     
    1         1      
    -1                
    -2         2      
    2                
                     
                     
                     

 

Maka fungsi modulus adalah :

f(-1) = 1

f(1) = 1

f(2) = 2

f(2) = 2

 

 

 

 

 

 

  1. d. Fungsi Tangga

Sudut fungsi S ditentukan oleh :

S(x) = 0 Jika 0 £ x < 1

1 Jika 1 £ x < 2

2 Jika 2 £ x < 3

Gambar grafik fungsinya

  y                  
                     
  2                  
                   
  1                  
                     
      1 2 3
           
  1. e. Fungsi Turunan

Suatu fungsi g : R adalah suatu fungsi turunan yang diketahui dan f ditentukan oleh :

F (x) =    lim

h ® o

15. Fungsi Linier

Bentuk umum dari fungsi linier ialah :

y = f(x) = ax +b

16. Fungsi Kuadrat

  1. a. Bentuk Umum

y = f(x) = ax2 9 + bx + c

Fungsi kuadrat mempunyai bentu umum :

 

 

  1. b. Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik setiap fungsi kuadrat f(x) adalah parabola dengan persamaan y = ax2 + bx + c.

Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan yaitu :

1).  Jika bentuk persamaan parabola y = ax2 + bx + c dan a ¹ 0 maka :

–          Jika a > 0, parabola membuka ke atas dan mempunyai titik balik minimum.

–          Jika a < 0, parabola membuka ke bawah dan mempunyai titik balik maksimum.

2).  Titik balik maksimum atau minimum

y = a (x – xp)2 + yp

 

y = a

 

 

 

 

D = b2 – 4 ac

3).  Diskriminan

 

Jika :

c > 0, grafik memotong sumbu y positif

c < 0, grafik memotong sumbu y negatif

c = 0, grafik melalui titik 0 (0,0)

4).  Titik potong dengan sumbu x yaitu jika y = 0 atau ax2 + bx + c = 0

–          Jika D > 0, parabola memotong sumbu x pada 2 titik yang berbeda

–          Jika D< 0, maka parabola tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x

–          Jika d = 0, maka parabola menyinggung sumbu x pada titik yang sama.

  1. Titik Potong Dengan Sumbu Y

Jika x – 0

Jadi y = ax2 + bx + c

y = c

  1. Sumbu Simetri Kurva

 

Sumbu simetri kurva dapat dicari dengan rumus :

 

  1. Titik Puncak Kurva

Titik puncak kurva dapat dicari juga dengan rumus :

 

 

 

  1. Hubungan Grafik Fungsi Dengan Sumbu x

–          Jika f (x) > 0 untuk tiap harga x, maka nilai f(x) selalu positif

–          Jika f (x) < 0 untuk tiap harga x, maka nilai f(x) selalu negatif.

 

Jadi :

–          f(x) = difintip positif jika A > 0 dan D < 0

–          F(x) = difintip negatif jika A < 0 dan D < 0

17. Fungsi-Fungsi Lainnya

  1. a. Fungsi Pecahan

Fungsi pecahan terdiri atas beberapa jenis yaitu :

–          Fungsi pecahan linier bentuk umum

 

Untuk menggambarkan grafiknya adalah dengan jalan :

–          Menentukan titik potong dengan sumbu x

 

–          Menentukan titik potong dengan sumbu y

 

–          Menentukan asymtot tegak

 

–          Menentukan asymtot datar

 

 

 

 

 

Fungsi Pecahan Linier Kuadrat

Bentuk  Umum :

 

Untuk menggambarkan grafiknya adalah dengan jalan :

–          Menentukan titik potong dengan sumbu x

Ax2 + bx + c = 0

–          Menentukan dengan titik potong dengan sumbu y

 

–          Menentukan asymptot miring

 

Fungsi Pecahan Kuadrat

Bentuk Umum :

 

Kita dapat menggambarkan grafiknya dengan cara :

–          Menentukan titik potong dengan sumbu x

Ax2 + bx + c = 0

–          Menentukan titik potong dengan sumbu y

 

 

 

–          Menentukan asymptot datar

 

–          Menentukan asymptot tegak

px2 + 9x + r = 0

  1. b. Fungsi Transenden

–          Fungsi Geometri

y = sin x

y = cos x

y = tg x

–          Fungsi Siklometri

y = are sin x

y = are cos x

y = are tg x

–          Fungsi Eksponensial

y = cx, y = ax

  1. c. Fungsi Parameter

Yaitu : fungsi dimana nilai x dan y ditulis secara terpisah dan ditulis dalam parameter.

x = r cos t

y = r sin t

 

 

 

  1. d. Fungsi Logaritma

Bentuk Umum :

y = a log x

Fungsi logaritma adalah Invers dari fungsi eksponen

18. Invers Dari Fungsi

Jika f suatu fungsi dari A ke dalam B dan misalkan : b Î B maka invers dari b, dinyatakan oleh f-1 (b).

Jika f : A ® B maka :

f-1(b) = {xïx Î A, f(x) = b}

f-1 (b) adalah selalu sebuah subhimpunan dari A. Kita membaca f-1 sebagai “f invers”.

19. Fungsi Invers

Jika f-1(b) dapat terdiri atas lebih dari 1 elemen / himpunan kosong  jika f : A ® B adalah fungsi satu-satu dan suatu fungsi pada, maka untuk tiap-tiap b Î B, invers f-1 (b) akan terdiri dari sebuah elemen tunggal dalam A, oleh sebab itu f-1 adalah suatu fungsi dari B kedalam A, dapat ditulis : f-1 : B ® A.

 

 

 

 

 

 

 

20. Teorema-Teorema Mengenai Fungsi Invers

Mis : Fungsi f : A® B mempunyai fungsi invers f-1 : B ® A, maka diagramnya :

                                       
                                       
    A   f     B   f-1     C          
                                       
                                       
              (f-1. f)                  
                                       

TEOREMA 1 :           Misalnya : Fungsi f : A ® B adalah satu-satu dan pada yang berarti .

Fungsi Invers f-1 : B ® A ada, maka hasil kali fungsi (F-1 . f) : A ®A, adalah fungsi satuan pada A dan hasil kali fungsi (f.f-1) : B® B, adalah satua pada B.

TEOREMA  2 :  Misalkan : f : A ® B dan g : B ® A maka g adalah fungsi invers dari f yang berarti g = f-1 jika hasil kali fungsi : (g . f) : A ® A adalah fungsi satua pada B.

B. RELASI

  1. 1. Pengertian Relasi

Relasi adalah aturan yang menghubungkan himpunan yang satu dengan himpunan yang lainnya. Relasi himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota  A dengan anggota-anggota B.

 

 

Contoh :

A = {1, 2, 3}

B = {1, 2, 3, 4}

                     
    1         1      
    2         2      
    3         3      
              4      
                     
                     
  1. 2. Fungsi Proposisi dan Kalimat Terbuka

Suatu fungsi proposisi yang didefinisikan pada hasil kali kartesis A x B dari dua buah himpunan A dan B adalah sebuah ungkapan yang dinyatakan oleh : P(x,y). Ungkapan P(x,y) sendiri disebut suatu kalimat terbuka dalam dua variabel atau secara singkat, suatu kalimat terbuka.

  1. 3. Relasi

Suatu relasi R terdiri atas :

1)      Sebuah himpunan A

2)      Sebuah himpunan B

3)      Suatu kalimat terbuka P(x, y) dimana P(a, b) adalah benar atau salah untuk sebarang pasangan terurut (a, b) yang termasuk dalam A x B.

Maka kita menyebut  R suatu relasi dari A ke B dan menyatakannya dengan :

R = (A, B, P(x,y))

Jika P(a, b) adalah benar kita tulis dengan  : a R b yang berbunyi : “a berhubungan dengan b”. Pada pihak lain, jika P(a, b) tidak benar, kita tulis a R b yang berbunyi : “a tidak berhubungan dengan b”.

  1. 4. Himpunan Jawaban dan Grafik Relasi

Misalkan R = (A, B, P(x, y)) adalah suatu relasi. Himpunan jawaban dari R#. dari relasi R terdiri atas elemen-elemen (a, b) dalam A x B untuk P (a, b) adalah benar.

R = {(a, b) ½a Î A, b Î B, P (a, b) adalah benar}. Dimana grafik Relasi dari suatu relasi R dari A ke B terdiri atas titik-titik pada diagram koordinat dari A x B yang termasuk dalam himpunan jawaban dari R.

                   
                 

Contoh : Misalkan R = (A,b, P (x,y) dimana A= (2, 3, 4) B= (3, 4, 5, 6) dan P (x,y) berbunyi “ y habis dibagi oleh x”. jadi himpunan jawaban dari R adalah :

R = {(2,4), (2,6), (3, 3), (3,6), (4,4) seperti pada diagram disamping.

6                  
5                  
4                  
3                  
                   
    2 3 4      
  1. 5. Menyatakan Relasi

Suatu relasi dapat dinyatakan dengan beberapa cara, yaitu :

  1. Dengan grafik
  2. Dengan Diagram
  3. Dengan himpunan pasangan berurutan
  4. Dengan menggunakan rumus :

Banyaknya Relasi yang terjadi dapat dinyatakan dengan menggunakan rumus:   R = 2n

Dimana :

R = Banyaknya relasi

n = Banyaknya elemen

relasi antara banyaknya sisi dengan banyaknya diagonal ruang yang terdapat dalam prisma segi n dapat diketahui dengan menggunakan rumus :

d = n(n – 3

Dimana :

d = diagonal ruang

n = banyaknya segi

  1. 6. Relasi Sebagai Himpunan Dari Pasangan-Pasangan Terurut

Misalkan R* sebarang subhimpunan dari A x B dimana suatu relasi R = (A,B, P (x, y)) dimana P (x, y) berbunyi : “Pasangan terurut (x, y) termasuk dalam R*”. Suatu Relasi R dari A ke B adalah subhimpunan dari A x B.

  1. 7. Relasi Invers

Setiap relasi R dari A ke B mempunyai suatu relasi invers R-1 dari B ke A yang didefinisikan dengan :

R-1 = {(b, a) ½(a, b) Î R}

  1. 8. Relasi Refleksif

Misalkan    R= P(x,y) suatu relasi dalam sebuah himpunan A, yaitu misalkan R sebuah subhimpunan dari A x A. Maka R disebut suatu relasi refleksif jika, untuk setiap a Î A, (a, a) Î R

Dengan kata lain, R adalah refleksif jika setiap elemen dalam A berhubungan dengan dirinya sendiri.

  1. 9. Relasi Simetris

Misalkan R sebuah subhimpunan dari A x A, yaitu R adalah suatu relasi dalam A, maka R disebut suatu relasi simetris jika :

(a, b) Î R maka berarti (b, a) Î R

yaitu, jika a berhubungan dengan  b maka b juga berhubungan dengan a.

10. Relasi Anti -Semetris

Suatu relasi R adalah dalam sebuah himpunan A, yaitu sebuah subhimpunan dari A x A, disebut suatu relasi antisimetris jika : (a, b) Î R dan (b, a) Î R maka berarti a = b, jika a ¹ b maka mungkin a berhubungan dengan b dan mungkin b, berhubungan dengan a, tetapi tidak pernah kedua-duanya.

Misalkan D menyatakan garis diagonal dari A x A, yaitu himpunan dari semua pasangan terurut (a, a) Î A x A. Maka suatu relasi R dalam A adalah anti simetris jika dan hanya jika

R  R-1 Ì D

11. Relasi Transitif

Suatu relasi R dalam sebuah himpunan A adalah relasi transitif jika

(a, b) Î R dan (b, c) Î R maka (a, c) Î R

Dengan kata lain, jika a berhubungan dengan b dan b berhubungan dengan c, maka a berhubungan dengan c.

Contoh : Misalkan A sebuah keluarga himpunan-himpunan dan R adalah relasi dalam

A yang didefinisikan oleh “x adalah sebuah subhimpunan dari y”. Maka R adalah suatu relasi transitif karena jika

A Ì B dan BÌ C maka A Ì C

12. Relasi Ekuivalen

Suatu Relasi R dalam himpunan A adalah suatu relasi ekuivalen jika

1)      R adalah refleksif, yaitu untuk setiap a Î A, (a, a) Î R

2)      R adalah simetris, yaitu jika (a, b) Î R maka (b, a) Î R

3)      R adalah transitif yaitu jika (a, b) Î R dan (b, c) Î R maka (a, c) Î R

13. Ranah Dan Jangkau Dari Suatu Fungsi

Misalkan R suatu relasi dari A ke B, yaitu misalkan R subhimpunan dari A x B. Ranah (dominan) D dari relasi R adalah himpunan dari semua elemen pertama dalam pasangan-pasangan terurut yang termasuk R yaitu :

D = {(a½a Î A, (a, b) Î R}

Jangkau (range) E dari relasi R terdiri atas semua elemen kedua yang muncul dalam pasangan-pasangan terurut dalam R, yaitu

E = {b | b Î B, (a, b) Î R}

Jadi ranah suatu relasi dari A ke B adalah subhimpunan dari A dan jangkaunya adalah subhimpunan dari B.

Contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c}, dan R = {(2, a), (4, a), (4, c)}

Maka ranah dari R adalah himpunan {2, 4}, dan jangkau dari R adalah himpunan {a, c}.

 

BAB III

PENUTUP

Untuk mengakhiri paper ini penulis dapat menyampaikan beberapa kesimpulan dan saran, yaitu :

1.   Kesimpulan

Kesimpulan yang penulis dapat dengan membuat paper ini yaitu fungsi atau pemetaan adalah merupakan suatu relasi yang bersifat khusus, karena tidak semua relasi merupakan suatu fungsi atau pemetaan, tetapi setiap fungsi merupakan relasi tapi relasi belum tentu fungsi. Jadi suatu fungsi (f) dari himpunan A ke himpunan B ialah suatu relasi dimana setiap anggota A dipasangkan tepat satu dengan anggota B.

2.   Saran

Dengan adanya paper ini, penulis menyarankan kepada para pembaca agar memahami pengertian dari fungsi dan relasi. Selain itu agar dapat mengetahui jenis-jenis dari fungsi yang ada serta mengetahui dan memahami sifat-sifat dari relasi. Dan disarankan agar mahasiswa maupun mahasiswi diharapkan lebih mampu mencari maupun menemukan solusi, serta memecahkan suatu permasalahan dengan kemampuan atau dengan usah sendiri khususnya mengenai materi fungsi dan relasi.

 

 

 

 

DAFTAR PUSTAKA

 

Foter, Bob. 2006. Soal dan Pembahasan Matematika. Jakarta : Erlangga

Idel Antoni, Drs dan Hariyono Rudi, Drs. 2005. Pintar Matematika SMA. Jakarta : Gitamedia Press

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pos ini dipublikasikan di Uncategorized. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s