Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

LINEAR SATU VARIABEL

Tujuan Pembelajaran

  1. Siswa dapat mengenal PLSV dalam berbagai bentuk dan Variabel.
  2. Siswa dapat menentukan bentuk setara dari PLSV.
  3. Siswa dapat menentukan akar penyelesaian PLSV.
  4. Siswa dapat memecahkan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan PLSV.
  5. Siswa  dapat menentukan bentuk setara dari PtLSV.
  6. Siswa dapat menentukan penyelesaian dari PtLSV.

A.   Kalimat Terbuka

1.        Pernyataan

Kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya (bernilai benar saja atau salah saja) disebut pernyataan. Berikut ini diberikan beberapa contoh dari suatu pernyataan.

  1. “Jika x sembarang bilangan bulat maka x2 adalah bilangan cacah” merupakan pernyataan yang bernilai benar.
  2. “Bilangan prima adalah bilangan yang tidak habis dibagi 2” merupakan pernyataan yang bernilai salah.

2. Kalimat  Terbuka, Variabel, dan Konstanta

  1. Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan belum diketahui nilai kebenarannya.
  2. Variabel adalah lambang (simbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh sembarang anggota himpunan yang sudah ditentukan.
  3. Konstanta adalah nilai tetap (tertentu) yang merupakan anggota himpunan yang ditentukan.

Kalimat terbuka x + 3 = 5, x anggota himpunan bilangan cacah akan bernilai benar jika x diganti dengan 2 dan bernilai salah jika x diganti bilangan selain 2. Dalam hal ini, x disebut variabel, sedangkan 3 dan 5 disebut konstanta.

  1. Himpunan Penyelesaian dari Kalimat Terbuka

Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka, sehingga kalimat tersebut bernilai benar.

Misalkan x adalah peubah (variabel) pada himpunan bilangan bulat, x2 -1 = 0 akan bernilai benar, jika x diganti dengan -1 atau 1. Kita katakan bahwa x = -1 dan x = 1 adalah penyelesaian dari kalimat terbuka x2 – 1 = 0. Dengan kata lain, himpunan penyelesaian kalimat tersebut adalah {-1,1}.

B.   Persamaan Linear Satu Variabel

1.  Pengertian Persamaan, Penyelesaian, dan Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel

Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan tanda sama dengan (“=“) dan hanya mempunyai satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah ax + b = 0 untuk a ¹ 0. Kalimat x + 4 = 10 adalah kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda sama dengan disebut persamaan. Persamaan dengan satu variabel berpangkat atau berderajat satu disebut persamaan linear satu variabel.

Pengganti variabel yang mengakibatkan persamaan bernilai benar disebut penyelesaian dan himpunan semua penyelesaian disebut himpunan penyelesaian. Misalnya, x = 6 adalah penyelesaian dari x + 4 = 10 dan {6} adalah himpunan penyelesaiannya.

2.    Menentukan Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel

Untuk menyelesaikan suatu persamaan, dapat dilakukan dengan cara substitusi, yaitu mengganti variabel yang sesuai sehingga persamaan tersebut menjadi kalimat yang bernilai benar.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian 2x – 1 = 3 jika x variabel adalah anggota himpunan bilangan asli.

Jawab :

Untuk x = 1 maka 2(1) – 1 = 3 (bernilai salah).

Untuk x = 2 maka 2(2) – 1 = 3 (bernilai benar).

Untuk x = 3 maka 2(3) – 1 = 3 (bernilai salah).

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2}.

3.    Persamaan-Persamaan yang Ekuivalen

Persamaan-persamaan yang ekuivalen adalah persamaan-persamaan yang memiliki himpunan penyelesaian sama, jika pada persamaan tersebut dilakukan operasi tertentu. Suatu persamaan yang ekuivalen dinotasikan dengan tanda “Û”.

Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen, dengan cara

  1. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
  2. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan bukan nol yang sama

Perhatikan persamaan 6x – 3 = 2x + 1 dengan x variabel pada himpunan bilangan bulat. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, dapat dilakukan dengan menyatakannya ke dalam persamaan yang ekuivalen yaitu

6x – 3 = 2x + 1

Û        6x – 3 + 3 = 2x + 1 + 3 (kedua ruas ditambah 3)

Û                    6x = 2x + 4

Û        6x + (-2x) = 2x + (-2x) + 4 (kedua ruas ditambah -2x)

Û                    4x = 4

Û               4x : 4 = 4 : 4 (kedua ruas dibagi dengan 4)

Û                      x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1}.

4.    Menyelesaikan Kalimat Terbuka yang Berbentuk Cerita

Untuk menyelesaikan suatu cerita kita memerlukan langkah-langkah berikut.

  1. Pahami soal cerita itu sehingga diperoleh hal-hal yang diketahui dan ditanyakan.
  2. Nyatakan hal-hal yang ditanyakan dalam variabel, misalnya x.
  3. Tulislah model/kalimat matematika yang sesuai dengan situasi yang diberikan.
  4. Selesaikan kalimat matematika tersebut.
  5. Periksa kembali/uji penyelesaian itu.

Contoh :

Diketahui harga satu lusin (12 batang) pensil adalah Rp. 18.000,00.  Tentukan harga setiap batang pensil.

Jawab :

Diketahui harga satu lusin pensil = Rp 18.000,00.

Ditanyakan harga setiap batang pensil.

Untuk menentukan harga setiap batang pensil, kita nyatakan dahulu soal cerita di atas dalam kalimat matematika. Jika harga satu pensil = x maka soal cerita di atas dapat ditulis dalam kalimat matematika.

 

 

12 x = 18.000

 

 

 

x = 1.500

Jadi, harga setiap batang pensil adalah Rp. 1.500,00.

Karena 12 x Rp 1.500,00 = Rp 18.000,00, maka penyelesaian di atas sudah benar.

 

C. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

  1. Pengertian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Suatu kalimat terbuka dengan satu variabel berpangkat satu, yang dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan disebut pertidaksamaan linear satu variabel.

Kita telah mengenal lambang ketidaksamaan, antara lain

  1. Kurang dari ditulis “<”
  2. Lebih dari ditulis “>”
  3. Kurang dari atau sama dengan ditulis “£”
  4. Lebih dari atau sama dengan ditulis “³”

2.    Menentukan  Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Jika a, b adalah bilangan real dengan a £ b maka

1)   a + c  £ b + c          untuk c adalah sebarang bilangan real.

2)   ka £ kb       untuk k adalah sebarang konstanta real positif.

3)   pa ³ pb       untuk p adalah sebarang konstanta real negatif.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x – 1 < x + 3 dengan x variabel pada himpunan bilangan cacah.

Jawab :

3x – 1 < x + 3

Û 3x – 1 + 1 < x + 3 + 1 (kedua ruas ditambah 1)

Û             3x < x + 4

Û  3x + (-x) < x + (-x) + 4 (kedua ruas ditambah –x)

Û            2x < 4

Û       2x : 2 < 4 : 2 (kedua ruas dibagi dengan 2)

Û              x < 2

Karena x anggota C maka yang memenuhi x < 2 adalah x = 0 atau x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0,1}.

Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel, dapat dilakukan dalam dua cara, yaitu sebagai berikut.

  1. Mencari lebih dahulu penyelesaian persamaan yang diperoleh, dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda ketidaksamaan dengan tanda “=“.
  2. Menyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen.

Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut :

Suatu pertidaksamaan dapat dinyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen dengan cara sebagai berikut :

  1. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama, tanpa mengubah tanda ketidaksamaan.
  2. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif yang sama, tanpa mengubah tanda ketidaksamaan.
  3. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama, tetapi tanda ketidaksamaan berubah :

1)        “>” menjadi “<“

2)        “³ “ menjadi “£”

3)        “<“ menjadi “>”

4)        “£” menjadi “³”

3.    Menyelesaikan Soal-Soal Cerita yang Berkaitan dengan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Untuk menyelesaikan soal-soal dalam bentuk cerita, yang berkaitan dengan pertidaksamaan linear satu variabel, terjemahkan soal-soal tersebut terlebih dahulu menjadi bentuk pertidaksamaan, kemudian pertidaksamaan itu diselesaikan.

 

About these ads
Tulisan ini dipublikasikan di Uncategorized. Tandai permalink.

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s